Thema: Beule im Tank

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Dynamik der ebenen Kreisbewegung

Eine Kreis- oder Rotationsbewegung entsteht, wenn ein

Drehmoment M = Fr

um den Aufhängungspunkt des Kraftarms r (von der Drehachse) wirkt; die Einheit des Drehmoments M ist Nm oder kg m2/s2. Um den vektoriellen Charakter von F, r und M auszudrücken und die Richtungsabhängigkeit von F und r zu berücksichtigen, verwenden wir das Vektorprodukt:

M = r × F
wobei

C = A × B bedeutet: "C ist ein Vektor, der senkrecht auf A und B steht und den Betrag |C| = |A||B| sin q besitzt, mit q = Winkel zwischen A und B". Die Richtung von M ist also parallel zur Drehachse (Rechte-Hand-Regel):
Newton'sche Axiome für die Drehbewegung

1. Trägheitsprinzip --ein (massives) Objekt, worauf keine Drehmomente wirken, beharrt in seinem jeweiligen Zustand der gleichförmigen Drehbewegung.

2. Aktionsprinzip --wenn ein Drehmoment M auf ein Objekt wirkt, erzeugt sie eine Winkelbeschleunigung a (rad/s2), nach der Bewegungsgleichung:

M = Q a

Hierbei ist Q das Trägheitsmoment des Objektes. Aus den Einheiten der obigen Bewegungsgleichung sieht man, daß Q die Einheit N m s2 = kg m2 haben muß. Für eine Punktmasse m im Abstand r von der Drehachse gilt

Q = m r2

3. actio = reactio --ein wirkendes Drehmoment M ruft immer ein gleich großes, entgegengerichtetes Gegenmoment (Reaktionsmoment) MR = -M hervor
(z.B. Gegendrehung eines Hubschraubers).

Der Drehimpuls
Die Bewegungsgleichung
M = Q a

für die Drehbewegung kann genau analog zur Newton'schen Gleichung für eine
lineare Bewegung durch 2-maliges Integrieren gelöst werden.

Analog zum Linearimpuls p = mv definieren wir auch den

Drehimpuls L = Qw = m vB × r

(die letzte Definition gilt für eine Punktmasse m auf einer Kreisbahn vom Radius r mit der Bahngeschwindigkeit vB). Hier gilt ebenfalls ein Erhaltungssatz, die Drehimpulserhaltung. Die allgemeine Form der Bewegungsgleichung für die Drehbewegung ist dann:

M = dL/dt .
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